Смысл слов один и тот же, вот только оттенок разный.
«Извините» говорят, когда виноватыми себя особо не считают. Но ради приличия и соблюдения этикета в виде формальности произносят это слово.
Типичный пример, который чаще всего говорят во время нежданного телефонного звонка или визита — «извините за беспокойство».
По сути, «извини» говорят, когда только предполагают, что человек может обидеться.
«Прости» употребляют, когда действительно серьёзно обидели кого-то.
В таком случае «прости» звучит как «я признаю свою вину, я не должен был так поступать».
Это слово говорят, когда обидчика терзает совесть и он искренне хочет исправить ситуацию. Например, «прости, что так долго не приезжал к тебе, больше такого не будет».
Получается, что «извини» говорят ради этикета, а «прости» употребляют, когда испытывают настоящую вину.
